Ciclo limite

Nello studio dei sistemi dinamici, un ciclo limite è un'orbita periodica isolata, ovvero tale per cui non esistono altre orbite periodiche nelle vicinanze e tutte le traiettorie compiute dal sistema che sono sufficientemente vicine convergono ad essa per ${\displaystyle t\to \pm \infty }$.

Un punto periodico ${\displaystyle x_{0}}$ è un punto dello spazio delle fasi tale per cui la traiettoria ${\displaystyle x(t,x_{0})}$ del sistema dinamico ritorna al punto di partenza dopo un tempo ${\displaystyle T}$, ovvero è una funzione periodica con periodo ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle x(t+T,x_{0})=x(t,x_{0})}$

${\displaystyle x(t+t',x_{0})\neq x(t,x_{0})\qquad 0<t'<T}$

Un'orbita periodica (anche detta orbita chiusa) è data dall'insieme di tali punti periodici:

${\displaystyle \phi (t,x_{0})=\{x(t,x_{0}):0\leq t\leq T\}}$

Un ciclo limite è un'orbita periodica isolata, tale per cui esiste almeno una traiettoria che converge ad essa per ${\displaystyle t\to \pm \infty }$. In due dimensioni, si dimostra che se ${\displaystyle \phi (x_{0})}$ è un'orbita periodica non costante di un sistema dinamico:

${\displaystyle x_{1}'=f_{1}(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle x_{2}'=f_{2}(x_{1},x_{2})}$

e non vi sono altre orbite periodiche nelle vicinanze, allora ogni traiettoria che passa o inizia per un punto sufficientemente vicino a ${\displaystyle x_{0}}$ converge a ${\displaystyle \phi (x_{0})}$ per ${\displaystyle t\to +\infty }$ o ${\displaystyle t\to -\infty }$. In tal caso ${\displaystyle \phi (x_{0})}$ viene detta ciclo limite.